В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны sqrt(10). Точка М – середина SB, точка N лежит на ребре АВ, причем 4BN = AB. Найт

В основании правильной четырехугольной пирамиды SABCD с вершиной S лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны sqrt(10). Точка М – середина SB, точка N лежит на ребре АВ, причем 4BN = AB. Найти минимально возможный радиус шара, касающегося плоскостей граней двухгранного угла при ребре AD и прямой MN.

Ответ:

Поскольку плоскость проведена через прямую ВМ паралельно диагонали АС, то ей принадлежит и прямая, параллельная AC и проходящая через точку M (назовём её MN). Таким образом, нам нужно найти угол между плоскостями SAC и BMN, пересекающимися по прямой MN.

По условию, пирамида SABCD - правильная, а значит, высота SO делит диагонали основания пополам. Кроме того, точка N делит ребро SC пополам, следовательно, BM = BN, а точка P делит пополам отрезки MN и SO. Отрезок BP (принадлешащий плоскости BMN) перпендикулярем MN, отрезок OP (принадлежащий плоскости SAC) перпендикулярер MN. Поэтому угол между плоскостями - это угол BPO, который мы найдём из одноименного прямоугольного треугольника. BO = AO = (половина диагональ квадрата) = = 3*sqrt(10)/5*sqrt(2)/2 = 3*sqrt(5)/5. PO = (половина катета SO прямоугольного треугольника ASO) = = sqrt(3^2-(3*sqrt(5)/5)^2)/2 = 3*sqrt(5)/5. То есть, BO = PO, а значит, треугольник BPO не только прямоугольный, но и равнобедренный, и угол BPO = 45 градусов.

Источник: https://znanija.com/task/254889

Похожие статьи:

Физика 10-11 классы → На абсолютно гладком столе лежит доска массой М=15 кг, на которой лежит брусок массой m=3 кг. Коэф. трения между бруском и доской мю=0, 2. К бруску приложена горизонтальная сила F=8 Н. Определите,

Геометрия 10-11 классы → Точка А лежит в плоскости(альфа) паралельной прямой(альфа)Через точку А проведенна прямая b, паралельная(альфе) Докажите что прямая b лежит в плоскости (альфа)

Геометрия 10-11 классы → Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости, O∈AB, T∈CB, P∈AC∧OT. а) назовите пункт пересечения прямой PT и плоскости ABD. б) по какой прямой пересекаюцца плоскости TPD и ABD?

Математика 5-9 классы → На отрезке СД лежит две точки М и N  . Так что точка м лежит...

Геометрия 5-9 классы → Доказать Теорему: В любом треугольнике против большого угла лежит большая сторона и против большей стороны лежит больший угол