В окружность радиуса 4 см вписан квадрат, в который снова вписана окружность, и т. д. найдите сумму длин всех таких окружностей.
Ответ:
Если вписать квадрат в окуржность, то его диагональ будет диаметром этой окружности (угол опирающийся на диаметр - прямой). Таким образом длина диагонали квадрата вписанного в окружность:
, где a - сторона квадрата. Так как диагональ есть диаметр то она равна двум радиусам:
. Тогда выразим длину стороны квадрата: 
Если вписать окружность в квадрат, то ее радиус будет равен половине стороны квадрата:
. Подставив предыдущую формулу в данную, получим:
.
Таким образом мы получили бесконечно убывающую геометрическую прогрессию радиусов окружностей. Первый элемент
, знаменатель прогресии
.
Сумма всех радиусов равна
.
Тогда сумма длин всех окружностей: 
Источник: https://znanija.com/task/119425
Похожие статьи:
Геометрия 5-9 классы → правильный шестиугольник вписан в окружность, его периметр 48метров. Квадрат вписан в ту же окружность. Найти сторону квадрата
Геометрия 5-9 классы → 1. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен 45 см. Найдите сторону правильного восьмиугольника, вписанного в ту же окружность.
Геометрия 5-9 классы → Периметр правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равен 48 см. Найти сторону квадрата, вписанного в ту же окружность.
Геометрия 5-9 классы → 1)В окружность радиуса 3+√3 (корень из 3) вписан правильный шестиугольник ABCDEK. Найти квадрат радиуса круга, вписанного в треугольник
Алгебра → в окружность радиус которого равен R вписан квадрат, в этот квадрат вписана окружность , вокружность вписан квадрат и т. д. Найдите сумму длин окружностей пощадей кругов периметров квадратов площадей