Вокруг треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти АК, если ВС=а, угол В=бетта, угол С=гамма.

Вокруг треугольника АВС описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти АК, если ВС=а, угол В=бетта, угол С=гамма.

Ответ:

По расширенной  теореме синусов

AC\sin B=AB\sin c=BC\sin A=2R

BC=a

A=180-B-C

A\2=90-B\2-C\2

значит R=BC\(2sin A)=a\(2sin (180-B-C))=a\(2sin (B+C))

по свойству вписанных углов спряжающих одну и ту же дугу

угол СВК=угол А\2=угол ВСК

окружность описання вокруг треугольника АВС будет и описанной окружностью вокруг треугольника АВК

По расширенной  теореме синусов

АК\sin (В+А\2)=2R

АК=2R * sin (В+А\2)=2*a\(2sin (B+C))*sin (B+90-B\2-C\2)=

=a\(sin (B+C))*sin (90+B\2-C\2)=a\(sin (B+C))*cos (C\2-B\2)=

=a\(sin (бетта+гамма.))*cos (гамма.\2-бетта\2)

Источник: https://znanija.com/task/293709