в полукруг радиусом 6см вписан прямоугольник. Чему равна наибольшая площадь прямоугольника?
и еще одно задание: докажите что при x принадлежащим промежутку (0;
справедливо неравенство cos x + xsinx>1
Ответ:
в полукруг радиусом 6см вписан прямоугольник. Чему равна наибольшая площадь прямоугольника?
Решение: Пусть данный прямоугольник АВСD, точки A и B лежат на дуге полуокружности, точки C и D на ее диаметре, О – центр полуокружности.
Пусть АС=х см. Тогда по теореме Пифагора
CO=корень(AO^2-AC^2)=корень(6^2-x^2)=
= корень(36-x^2).
CD=2*CO=2* корень(36-x^2).
Площадь прямоугольника равна
S(x)=x*2* корень(36-x^2)= 2* x*корень(36-x^2).
ОДЗ функции S(x):0<x<6
Ищем производную
S’(x)=2* корень(36-x^2)+2*x*(-x)\ корень(36-x^2)=
=(2*(36-x^2)-2*x^2)\ корень(36-x^2)=
(72-4*x^2)\ корень(36-x^2).
Ищем критические точки.
S’(x)=0 (72-4*x^2)\ корень(36-x^2)=0
72-4*x^2=0
72=4*x^2
18=x^2
X1=-корень(18)=-3*корень(3) (не входит в ОДЗ)
х2=3*корень(3)
на промежутке (0; 3*корень(3)) знак производной больше 0(функция возрастает)
(3*корень(3);6) знак проиводной менше 0 (функция спадает)
Значит точка 3*корень(3) точка максимума
S(3*корень(3))= 2* 3*корень(3)*корень(36-(3*корень(3))^2)=18*корень(3).
Следовательно наибольшая площадь прямоугольника равна 18*корень(3).
Ответ: 18*корень(3)
Докажите, что при х є (0; pi\2) справедливо неравенство
cos x+x*sin x>1
Решение: Рассмотрим функцию f(x)=cos x+x*sin(x)-1
на промежутке [0; pi\2]. Она непрерывна на этом промежутке и для каждого х из этого промежутка существует проиводная.
Ищем проиводную:
f’(x)=-sin x+sin x+x*cos x=x*cos x
f’(x)>0 на промежутке (0; pi\2),значит f(x) возрастает на (0; pi\2),
f(0)=сos 0+0*sin 0-1=0
f(0)=0
Значит для х є (0; pi\2) f(x)>f(0)=0
или cos x+x*sin(x)-1>0, то есть cos x+x*sin(x)>1, что и требовалось доказать.
Источник: https://znanija.com/task/224449
