Решите уравнение (x-3)^4 + (x+1)^4=100 Найдите значения выражения

31 декабря 2012 - Администратор

Решите уравнение

(x-3)^4 + (x+1)^4=100

Найдите значения выражения

$\sqrt{7-3\sqrt{5}}*(3+\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3)^4-134\sqrt{2}$

Докажите, что число

$\sqrt[3]{4-\sqrt{15}}+\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}$

является иррациональным

Ответ:

1. Сделаем замену переменной: t = x-1 (x=t+1).

Тогда получим уравнение:

$(t-2)^4+(t+2)^4=100,\ \ \ \ (t^2-4t+4)^2+(t^2+4t+4)^2=100,$

$t^4-8t^3+16t^2+8t^2-32t+t^4+8t^3+16t^2+8t^2+32t-68=0,$

$t^4+24t^2-34=0,\ \ \ D=712,\ \ \ t^2=\sqrt{178}-12.$

Другой корень - отрицателен - не подходит.

Отсюда получаем два значения t:

$t_{1}=\sqrt{\sqrt{178}-12},\ \ \ \ t_{2}=-\sqrt{\sqrt{178}-12}.$

Соответственно находим х:

Ответ:

$x_{1}=1+\sqrt{\sqrt{178}-12},\ \ \ \ x_{2}=1-\sqrt{\sqrt{178}-12}.$

2. $\sqrt{7-3\sqrt{5}}*(3+\sqrt{5})-(\sqrt{2}-3)^4-134\sqrt{2}=$

$=\sqrt{(3+\sqrt{5})^2(7-3\sqrt{5})}-(3-\sqrt{2})^4-134\sqrt{2}=$

$=\sqrt{(14+6\sqrt{5})(7-3\sqrt{5})}-(11-6\sqrt{2})^2-134\sqrt{2}=$

$=\sqrt{98-90+42\sqrt{5}-42\sqrt{5}}-(121-132\sqrt{2}+72)-134\sqrt{2}=$

$=2\sqrt{2}-193+132\sqrt{2}-134\sqrt{2}=-193.$

Ответ: -193.

3. Могу предложить следующее доказательство:

Если мы докажем, что разность указанных кубических корней - число иррациональное, то и сумма их - также число иррациональное. (может это спорное утверждение, но мне кажется очевидным)....Итак:

Предположим, что:

$\sqrt[3]{4+\sqrt{15}}-\sqrt[3]{4-\sqrt15}=r$

где r - заведомо рациональное число (ведем док-во от противного)

Возведем обе части в куб. Если обе части выражения - рациональны, то возведение в куб на рациональность не повлияет.

$4+\sqrt15-3\sqrt[3]{(4+\sqrt15)^2(4-\sqrt15)}+3\sqrt[3]{(4+\sqrt15)(4-\sqrt15)^2}-4+\sqrt15=$

$=2\sqrt15-3(\sqrt[3]{4+\sqrt15}-\sqrt[3]{4-\sqrt15})=r^3$

Видим, что выражение в скобках - равно r. Получим в итоге:

$r^3+3r=2\sqrt15$

Слева - рациональное число, справа - заведомо иррациональное. Противоречие. Значит исходное предположение неверно.

Поэтому: исходное выражение - иррационально. Что и требовалось доказать.

Источник: https://znanija.com/task/256295

Рейтинг: 0 Голосов: 0 370 просмотров

Комментарии (0)

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Добавить комментарий