При каких значениях параметра a функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой

При каких значениях параметра a функция y=2ax^3+9x^2+54ax+66 убывает на всей числовой прямой

Ответ:

Решение:  Ищем производную

y’=6*a*x^2+18*x+54*a

Функция спадает на всей числовой прямой, если ее производная меньше 0 на всей числовой прямой (то есть для любого значения переменной производная меньше 0) .

Квадратный тричлен меньше 0 для всех х, если коэффициент при х^2 меньше 0 и дискриминант тричлена меньше 0.

Получаем систему неравенств

6a<0

18^2-4*6a*54a<0

Решением первого неравенства будут все а меньше 0

Решаем второе

9-36*а^2<0

1-4*a^2<0

(1-2a)*(1+2a)<0

Откуда решением второго будут те, а которые заключны в интервале (-1\2;1\2).

Обьединяя решения первого неравенства и второго, получаем, что искомые значения параметра а принадлежат интервалу (-1\2;0)

Ответ: (-1\2;0).

Источник: https://znanija.com/task/245227