помгите пожалуйста. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8см и углом 60 вписан прямоугольник ток, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Чему равно наибольшая площадь такого прямоугольник

помгите пожалуйста. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 8см и углом 60 вписан прямоугольник ток, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Чему равно наибольшая площадь такого прямоугольника. Заранее спасибо.

Ответ:

Решение:  Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом  C, и острым углом А=60 градусов. Пусть CDKN – данный прямоугольник, точка D лежит на катете AC , K лежит на гипотенузе AB=8 см, точка N лежит на катете  BC.

Тогда по условию задачи BC=AB*sin A=8*sin 60=4*корень(3).

АС=8*сos 60=8*1\2=4

Пусть CD=x см, тогда AD=4-x см

Тогда DK=AD*tg A=(4-x)*корень(3)

Площадь прямоугольника CDKN S(x)=CD*DK=x*(4-x)*корень(3)

Ищем производную S’(x)=корень(3)*(4-х-х)=2 *корень(3)*(2-х)

Ищем критические точки S’(x)= 2 *корень(3)*(2-х)=0

Х=2

От 0 до 2 производная  больше 0, от 2 до 8 меньше 0, значит в точке 2 у функции максимум, то есть площадь прямоугольника S(x) принимает наибольшее значение для х=2

S(2)= 2*(4-2)*корень(3)=4*корень(3).

Овтет: 4*корень(3).

вроде все так*

Источник: https://znanija.com/task/224957