Отрезки АА1, ВВ1, СС1 - медианы треугольника АВС. Докажите, что АА1+ВВ1+СС1 меньше Р(АВС).

Отрезки АА1, ВВ1, СС1 - медианы треугольника АВС. Докажите, что АА1+ВВ1+СС1 меньше Р(АВС).

Ответ:

Из свойств медиан известно, что

АА1<(АВ+АС)/2

ВВ1<(ВС+ВА)/2

СС1<(СА+СВ)/2

Сложим эти неравенстваАА1+ВВ1+СС1<(АВ+АС)/2+ВС+ВА)/2+(СА+СВ)/2=AB+BC+CA=P/2

То есть, сумма длин медиан меньше периметра

Источник: https://znanija.com/task/169886