Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система...

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений x^2+y^2=1; x+y=a имеет единственное решение.

Ответ плюс минус корень из двух.

Буду признательно за помощь в том, как подобные задания решать.

Ответ:

x^2 + y^2 = 1             x^2 + (a-x)^2 = 1      2x^2  - 2ax + (a^2-1) = 0

y = a-x                      y = a-x                      y = a-x

D = 4a^2 - 8(a^2 -1) = 8 - 4a^2 = 4(2-a^2)

Если D<0, решений нет.

Если D>0, то два решения.

Если D = 0, то единственное решение, что и требуется в задаче.

Приравняем дискриминант 0:

4(a^2 - 2) = 0

a1 = кор2;

a2 = - кор2.   Тогда х = 2а/4 = а/2,  у = а - а/2 = а/2.

Ответ: - кор2; кор2. 

Ответ #2:

Выражаем во втором уравнении у через х (у=а-х) и подставляем выраженное значение у в первое уравнение:

х²+(а-х)²=1

х²+а²-2ах+х²-1=0

2х²-2ах+а²-1=0

Получили квадратное уравнение, которое имеет единственное решение при Д=0.

Находим дискриминант, приравниваем его к нулю и, решая полученное уравнение, находим значение параметра а.

Д=(2а)² - 4·2(а²-1) = 4а² - 8а² + 8 = 8-4а²

8-4а²=0

4а²=8

а²=2

а=±√2

Ответ. ±√2 

Источник: https://znanija.com/task/255867