доказать что если α есть N, то (α⁵-5α³+4α)÷нацело на 120

доказать что если α есть N, то (α⁵-5α³+4α)÷нацело на 120

Ответ:

a⁵-5a³+4a=

a⁵-a³-4a³+4a=

a³(a²-1)-4a(a²-1)=

(a³-4a)(a²-1)=

a(a²-4)(a-1)(a+1)=

a(a-2)(a+2)(a-1)(a+1)=

(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)

Это произведение пяти последовательных целых чисел, а произведение таких чисел делится на 120. Поэтому это выражение делится на 120.

Ответ #2:

a^5-5a^3+4a=a(a^4-5a^2+4)=a(a^2-1)(a^2-4)=(a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)

(вынесли общий множитель, использовали формулу разности квадратов выражений)

хотя бы одно из пяти последовательных чисел делится на 5, одно делится на 3, два делится на 2, причем одно из этих двух не просто делится на 2, а делится на 4, а значит произведение этих пяти чисел делится на 3*5*2*4=120. что и требовалось доказать

Источник: https://znanija.com/task/263964