Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним. Решение с чертежом

Докажите, что внешний угол треугольника в два раза больше острого угла между биссектрисами углов, не смежных с ним.

Решение с чертежом

Ответ:

Проведем в тр. АВС биссектрисы углов А и В: АК и ВМ. О - точка пересечения биссектрис.. Пусть угол, смежный углу С -  х., а острый угол между биссектрисами: ВОК = АОМ = а.

Найдем углы 4-угольника МОКС:

По свойству внешнего угла тр-ка:

ОКС = а + В/2 (внешний к тр. ВОК)

ОМС = а + А/2 (внешний к тр. АОК)

МОК = 180-а (смежный с углом а)

Еще пригодится соотношение между углами А и В  и а:

а = А/2  +  В/2 (внешний к тр. АОВ)                               (1)

Итак угол МСК 4-ника МОКС, с одной стороны равен 180 - х (как смежный углу х), с другой стороны: МСК = 360 - (ОКС+ОМС+МОК) ( так как сумма всех углов выпуклого 4-ника равна 360 гр). Получим уравнение:

360-(а+В/2+а+А/2+180-а) = 180-х

180 - а - (А+В)/2 = 180 - х

И с учетом (1) получим:

-2а = -х

х = 2а,   что и требовалось доказать

P.S.Если опять не получится здесь, чертеж вышлю на почту.

Источник: https://znanija.com/task/256545