дано 70 попарно разных натуральных чисел, каждое из которых не...

дано 70 попарно разных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 200. Есть ли среди них два числа, которые отличаются или на4, или на5, или на9? Ответ аргументировать.

Ответ:

Пусть 1<=a1<a2<a3<...<a70<=200 - 70 попарно разных натуральных чисел, каждое из которых не превышает 200, записанных в порядке возрастания

 

При делении на 4 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3. Чисел дающих при делении на 4 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=4*17+2) 17+1=18. Эти числа отличаются между собой на число кратное 4, если среди них нет, чисел вида n и n+4, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 8. Пусть 1<=b1<b2<b3<...<b18<=200 - 18 разных натуральных чисел, дающих при делении на 4 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=b18-а1=(b18-b17)+(b17-b68)+...+(b3-b2)+(b2-b1)>=(у нас 17 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 8))>=8*17=136

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 4) необязательно

пример

1,2,3,4, 9,10,11,12, ..., 133,134,135,136, 141, 142

(9-1=17-9=....=141-133=8,  2-1=3-2=4-3=1)

(всех чисел 4*136/8+2=70)

 

При делении на 5 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3, 4. Чисел дающих при делении на 5 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=5*14) 14. Эти числа отличаются между собой на число кратное 5, если среди них нет, чисел вида n и n+5, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 10. Пусть 1<=с1<с2<с3<...<с14<=200 - 14 разных натуральных чисел, дающих при делении на 5 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=с14-с1=(с14-с13)+(с13-с12)+...+(с3-с2)+(с2-с1)>=(у нас 13 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 10))>=10*13=130

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 5) необязательно

пример

1,2,3,4,5,  11,12,13,14,15, ..., 131, 132, 133,134,135

(11-1=21-11=....=131-121=10,  2-1=3-2=4-3=5-4=1)

(всех чисел 140/2=70- выбросили половину первых 140 натуральных чисел)

 

При делении на 9 эти числа могут давать в остатке 0,1,2,3, 4,5,6,7,8. Чисел дающих при делении на 9 одинаковый остаток по принципу Дирихле будет хотя бы (70=9*7+7) 7+1=8. Эти числа отличаются между собой на число кратное 9, если среди них нет, чисел вида n и n+9, то для каждой разницы таких чисел их разница больше равно 18. Пусть 1<=d1<d2<d3<...<d8<=200 - 8 разных натуральных чисел, дающих при делении на 9 одинаковый остаток и записанных в порядке возрастания

 

200-1=199>=c8-c1=(c8-c7)+(c7-c8)+...+(c3-c2)+(c2-c1)>=(у нас 7 скобок(слагаемых, каждое из которых больше равно 18))>=18*7=126

 

отсюда делаем вывод, что таких наличие таких двух чисел (отличающихся на 9) необязательно

пример

1,2,3,4,5,6,7,8,9, 19,20,21,22,23,24,25,26,27, ...,127,128,129,130,131, 132,133

(19-1=37-19=....=127-109=8,  2-1=3-2=4-3=5-4=6-5=7-6=8-7=9-8=1)

(всех чисел (117+9)/2+7=70 - выбросили половину первых 126 чисел +7 чисел)

 

ответ НЕОБЯЗАТЕЛЬНО

Источник: https://znanija.com/task/302356