Дан треугольник ABC, в котором AB=5, ra:rc=3:2, ra:r=11:4. Около треугольника описана окружность и проведена биссектриса угла B, которая пересекает эту окружность в точке D. Найдите: а) AD' б) S(AB

29 декабря 2012 - Администратор

Дан треугольник ABC, в котором AB=5, ra:rc=3:2, ra:r=11:4. Около треугольника описана окружность и проведена биссектриса угла B, которая пересекает эту окружность в точке D. Найдите: а) AD' б) S(ABCD) если продолжить стороны треугольника то внешне рисуем окружность которая касается стороны и продолжений сторон Оа это центр окружности касающийся сторона a, Ос соответственно со стороной с так же и в другой задаче с радиусами

Ответ:

Рисунок отправил по почте.

Я так понял, что в а) надо найти AD, а не AD'. Про точку D' вообще в условии ничего не сказано.

AD = CD . хорды стягивают одинаковые дуги (В/2). Тр. ACD - равнобедренный. Его площадь:

[AD^2*sin(П-B)]/2 = [AD^2*sinB]/2

Площадь АВС:

(5ВСsinB)/2

S(ABCD) = (1/2)*sinB*(AD^2 + 5BC)

Итак стратегия понятна:

Помимо AD надо найти ВС и sinB для полного решения.

Попробуем решить треугольник АВС:

Найдем маленькие отрезки AF и СЕ:

AF = (rc)/tg(BAF/2) = (rc)/tg(П/2 - A/2) = (rc)*tg(A/2) = 11r*tg(A/2) /6

CE = 11rtg(C/2) /4

Выразим и сторону b треуг. АВС через r и углы А/2 и С/2:

b = r(ctg(A/2) + ctg(C/2))

Теперь из тр-ов AOaE и COcF напишем систему двух уравнений:

(b + (ra)tg(C/2))tg(A/2) = (ra)

(b + (rc)tg(A/2))tg(C/2) = (rc)

где (ra) = 11r/4, (rc) = 11r/6

После упрощений и деления одного ур-ия на другое, получим соотношение между углами:

tg(A/2) / tg(C/2) = 3/2

И в дальнейшем, выражая один тангенс через другой получим:

tg(A/2) = кор(3/22)

tg(C/2) = кор(2/33)

Находим и другие нужные нам ф-ии:

sinA = (2кор66)/25

sinC = (2кор66)/35

Видим, что синусы относятся как 7:5. Значит сторона а = ВС = 7

Теперь можно найти и sin(B/2), sin(C/2), sinB

Далее по т. синусов из тр. ADB найдем AD:

AD= (5sin(B/2))/sinC = 5кор(35/11) = 8,9

А теперь и площадь ABCD:

S(ABCD) = (1/2)*(35 + 8,9^2)sinB = (1/2)*(35 + 79,2)*0,93 = 53

Ответ: а) AD = 8,9.

б) S(ABCD) = 53

Источник: https://znanija.com/task/255451

Ответ:

Похожие статьи: