1. Найти сумму ряда: 3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+. . . 2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков: а)

31 декабря 2012 - Администратор

1. Найти сумму ряда:

3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+. . .

2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков:

а) $\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}$

б) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{n(n+1)}$

в) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n+1}}{{n!}$

г) $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n}}{{n!}$

3. Определить тип уравнения и найти его частное решение:

$x^{2}(y+1)dx+(x^{3}-1)(y-1)dy=0$

y(2)=1

Ответ:

1. Сумма ряда состоит из разности сумм двух беконечно убывающих геометр. прогрессий:

3 + 3/2 + 3/4 +.... b1 = 3, q = 1/2 S1 = b1/(1-q) = 6

1/3 + 1/6 + 1/12 + ....b1 = 1/3, q = 1/2 S2 = b1/(1-q) = 2/3

S = S1 - S2 = 6 - 2/3 = 16/3.

Ответ: 16/3.

а) ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

an не стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.

б) Воспользуемся признаком сравнения:

1/кор[n(n+1)] больше 1/(n+1) И так как гармонический ряд с аn = 1/(n+1) - расходится, то и расходится заданный ряд.

в) По признаку Даламбера

$\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1}=0$

Ряд сходится.

г) Проверим необходимое условие:

$\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n!}=\infty\$

Следовательно ряд расходится.

3. Линейное уравнение в полных дифференциалах. Решается методом разделения переменных и последующего интегрирования:

$\frac{x^2dx}{x^3-1}=-\frac{(y-1)dy}{y+1}. \frac{1}{3}\ln(x^3-1) = 2\ln(y+1)-y+C$

Или:

$\ln(x^3-1) = 6\ln(y+1)-3y+C$

Это решение в виде функции заданной в неявном виде. Найдем С из начального условия:

у(2)=1

$C = \ln7-6\ln2+3.$

Тогда ответ:

$\ln(x^3-1)=6lny-3y+(ln7-6ln2+3)$

Источник: https://znanija.com/task/254149

Рейтинг: 0 Голосов: 0 723 просмотра

Комментарии (0)

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Добавить комментарий